[转载] 从Ramsey理论到Green-Tao定理的史话
[4] Dirichlet的数论贡献
“研究数学如同研究其它领域一样，当清楚地了解自己陷入某种不可思议的境地时，这往往离新发现只剩不到一半的路程了。” —–Dirichlet（狄利克雷）
1801年Gauss 《算术探讨》的发表立即使1798年Legendre(1752-1833)的著作《数论》成为昨日黄花。 关于著名的二次互反律（Euler猜出），Legendre在其著作中给出个有缺陷的证明（需假定a与m互素时无穷算术级数（或叫等差数列）a, a+m, a+2m, …包含无穷多个素数），年轻的Gauss声称他给出了第一个完整严格的证明（也的确如此），这令老一辈数学家Legendre颇感不快。在Legendre工作基础上Gauss利用他的二次型理论还证明了一个自然数能表成三个整数的平方和当且仅当它不形如4k(8m+7) (其中k与m为自然数)，这个结果至今无初等的证明。
现在得说到伟大的德国数学家Dirichlet（1805-1859）了。Dirichlet 12岁时就表现出对数学的极大兴趣，并把零花钱用于购买数学书。他一生将Gauss的《算术探讨》视为珍宝，经常随身携带。 Dirichlet第一个引人注目的工作是证明Fermat大定理对指数5与14成立。Jacobi (1804-1851)是Dirichlet的终生朋友，两人在数论上交流使彼此受益。1855年Gauss去世后Dirichlet接替了Gauss在哥廷根的职位。Dirichlet利用Gauss的二次型理论导出了深刻的二次域类数公式（类数反映与唯一分解的距离）。代数数论中著名的Dirichlet单位定理[刻画代数数域（有理数域的有限次扩域）中代数整数构成的整环的单位群（单位指乘法可逆元）的结构]在他去世4年后被发表出来。今天看来，Dirichlet的二次域类数公式与Dirichlet单位定理依然深刻难证，体现了Dirichlet的高度原创性。Dirichlet在分析上也有许多重要贡献，他是我最敬佩的数学家之一。
Euler证明过级数Σ_p 1/p发散(其中p过所有素数), 并发现了算术基本定理的解析形式：
Re(s)>1时 ζ(s)= Σ_n 1/n^s =1/∏_p(1-p^{-s}).
Dirichlet进一步发展了Euler的思想，定义数论函数f(n)的Dirichlet级数为：
F(s)= Σ_n f(n)/n^s.
例如：Mobius (1790-1868) 引入的函数μ(n) (n=1时取值1，n是r个不同素数乘积时取值(-1)^r, n有重因子时取值0 ) 的Dirichlet级数为1/ζ(s), Mongoldt函数Λ(n)(n>1为一个素数p的方幂时取值ln p,此外取值0) Dirichlet级数为-ζ′(s)/ζ(s). μ(n)与Λ(n)在解析数论中占有重要地位，许多重要的素数规律都是利用这两个函数导出的；Mertens（1840-1927）根据它们证明了Σ_{p≤x}ln p/p -ln x有界，后面要提的Green-Tao定理证明中解析部分也巧妙地使用了μ(n)与Λ(n)。
为证级数Σ_{p≡a (mod m)} 1/p对与m互素的正整数a都发散，Dirichlet引入了现在数论中非常重要的Dirichlet L-函数L(s,χ)= Σ_n χ(n)/n^s , 其中Dirichlet特征χ是以m为周期的函数，适合χ(ab)=χ(a)χ(b)且χ(a)在a与m不互素时取值0. Dirichlet证明χ为非平凡特征（不恒取1）时L(1,χ)=Σ_n χ(n)/n≠0; 例如： 对于模4的Dirichlet特征χ(n)=(-1)^{(n-1)/2} ，L(1,χ)= 1-1/3+1/5-1/7+…=π/4≠0. 由此他成功地在1837年证明了著名的Dirichlet定理：正整数a与m互素时，Σ_{p≡a (mod m)} 1/p发散，从而算术级数a, a+m, a+2m, …中有无穷多个素数。解析数论因Dirichlet这项伟大的工作而诞生。
Dirichlet对Pell方程x^2 -dy^2 =1（其中正整数d不是平方数）的处理也新颖独到。他观察到整数x,y适合|x-sqrt(d)y|<1/y时
|x^2-dy^2|=|x-sqrt(d)y|×|(x-sqrt(d)y)+2*sqrt(d)y|
≤1/y×(1/y+2*sqrt(d)y) ≤2*sqrt(d)+1.
于是他设法证明对无理数θ（如sqrt(d)）有无穷多个既约有理数x/y (y>0)适合：
|θ-x/y|<1/y^2,
由此导出对某个绝对值不超过2*sqrt(d)+1的整数m方程x^2-dy^2=m有无穷多组整数解，这样可推出方程x^2 -dy^2 =1必有非平凡整数解。易见对每个正整数y都有整数x使得x/y<θ<(x+1)/y,从而|θ-x/y|<1/y； Dirichlet用有理数逼近无理数θ的定理比这平凡的观察要深刻得多。
为证他的逼近定理，1834年Dirichlet提出了现在很著名的下述基本原理：
抽屉原理（又称鸽笼原理，Dirichlet原理）：将多于n个物体放入n个抽屉中，必有某个抽屉包含至少两个物体。
有的读者看到此可能哈哈大笑，这么简单初等的原理谁不知道。抽屉原理虽然简单，但在数学中非常有用，它用非构造性方法给出了存在性结果！类似地，Pascal（1623-1662）提出的数学归纳法虽也易懂，却能让你在看透一些关于自然数的命题的本质之前就能证明它们（即可以帮你在“不知其所以然”的情况下“知其然”）；事实上Gauss给出的二次互反律的第一个证明就是用了数学归纳法。抽屉原理的诞生对19世纪的数论、20世纪的组合乃至Green-Tao定理的组合基础都有不可估量的深远影响。读者一时看不到那么远不要紧，我们将逐步展现其巨大威力; 但如果谁狂妄地认为抽屉原理只属于初等数学而不值一提，那只能说他对数学真谛的理解还很肤浅。
让我们看看Dirichlet如何应用抽屉原理导出他的逼近定理。任给正整数n,区间[0,1）是n个不相交小区间（可视为n个抽屉）：
[0,1/n）, [1/n,2/n）, …, [(n-1)/n,1）
的并。对无理数θ，n+1个数{jθ}( jθ的小数部分)[j=0,1,…,n]属于上述n个小区间。依抽屉原理，必有0≤k<1/n, 从而
|θ-x_1/y_1|<1/(n*y_1) ≤1/(y_1)^2.
取正整数m>1/|θ-x_1/y_1|，依上法又可找出互素的整数x_2与y_2使得0<1/m，从而|θ-x_2/y_2|<1/(m*y_2) ≤1/(y_2)^2。继续下去我们就找出无穷多个既约有理数x_1/y_1，x_2/y_2，…使得
|θ-x_i/y_i|<1/(y_i)^2 (i=1,2,…)
并且
|θ-x_1/y_1|>1/m>|θ-x_2/y_2|>|θ-x_3/y_3|>….
这就是历史上第一次应用抽屉原理获得的非平凡结果。
一项好的原创性工作出笼后，必然引起数学家的关注与推广。Hermite（1822-1901）应用抽屉原理给出了4倍数加1形素数可表成两个整数平方和的简单证明. Minkowski（1864-1909）对Dirichlet上述工作的推广导致了几何数论的诞生，这对与Green-Tao工作有关的Freiman定理的证明来说也是必不可少的工具。抽屉原理也为优美惊人的Ramsey理论埋下了种子。
Dirichlet逼近定理还开创了丢番图逼近这一新的数论分支，下篇中我们介绍这方面的工作。
转自南京大学小百合
