[转载] 从Ramsey理论到Green-Tao定理的史话
[1] Archimedes牛群问题
古希腊几何学家Apollonius（约公元前262-190）的出名在于他引人了在当时毫无实际用途的圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线），没想到后来Kepler（1571-1630）发现行星围绕恒星运行的轨道竟是以那恒星为焦点之一的椭圆，抛物线也成了被以一定速度抛出去的物体在重力作用下的运行轨迹。大家熟知的Archimedes（公元前287-212）无疑是比Apollonius更伟大的古希腊数学家，但Apollonius因求得更好的圆周率近似值就在文中嘲笑Archimedes的数学工作。为回击Apollonius的批评，Archimedes在写给Eratosthenes（公元前276-194， 以判别素数的Eratosthenes筛法闻名）的一首诗中提出了极具挑战性的Archimedes牛群问题。直到1773年这首用希腊文写成的诗才在德国一个图书馆被发现。
让我们看看这至少有2200年历史的牛群问题是怎么回事。
有一群牛（白牛、黑牛、黄牛和花斑牛）在西西里岛的大平原上吃草，同色牛中公牛占大多数，已知有下述9个关系式， 求每种毛色的公牛、母牛数。
1. 白公牛数=黄公牛数＋（1/2＋1/3）黑公牛数
2. 黑公牛数=黄公牛数＋（1/4＋1/5）花公牛数
3. 花公牛数=黄公牛数＋（1/6＋1/7）白公牛数
4. 白母牛数=（1/3＋1/4）黑牛数
5. 黑母牛数=（1/4＋1/5）花牛数
6. 花母牛数=（1/5＋1/6）黄牛数
7. 黄母牛数=（1/6＋1/7）白牛数
8. 白公牛数＋黑公牛数＝一个平方数
9. 花公牛数＋黄公牛数＝一个三角数（形如1+2+…+n=n(n+1)/2）。
如果取消后两个条件，我们得求带有8个未知数（各色的公牛数与母牛数）的7个线性方程构成的方程组的正整数解，符合条件的牛群总头数的最小数值为50, 389, 082。限制条件8与9使问题变得更加复杂，可以把问题转化为求方程 
的正整数解（
表示x的平方）； 直到1981年借助高速计算机人们才求出并发表了符合全部9个条件的牛群总头数的最小数值（是个206，545位数）！
首先系统研究方程或方程组整数解的是古希腊数学家丢番图（Diophantus， 约246-330年）。现在涉及整数解的方程（组）叫丢番图方程（组）；有时也叫不定方程（组），因为未知数个数多于方程个数。
记得在南大读本科时一位老师说过，只有大数学家的名字才可能被小写用作形容词。这儿
是一些常见的例子：diophantine equation（丢番图方程），archimedean norm（阿基米
得赋范），euclidean space（欧几里得空间），abelian group（阿贝尔群）,….
既然方程
的正整数解大得惊人（最小解中x是45位数，y是41位数），伟大的Archimedes是如何知道它一定有解的呢？ 这至今是个谜！Archimedes真乃神人也！大家知道Archimedes在科学上有许多伟大的发明，数学上他已有微积分的初步思想并成功算出了球的体积等，物理上他发现浮力定律与杠杆原理，军事上甚至传说他让太阳聚焦于敌船并烧毁它们。正在聚精会神做几何题的Archimedes被冲进来的士兵杀死后，人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体，柱体里面是一个球体——象征着他的骄傲的发现：球的体积是装下该球的最小的圆柱体体积的三分之二。Archimedes, Newton, Euler, Gauss被公认为数学上四大伟人。
对于正整数d, 方程
显然有平凡解 x=1或-1, y=0. 
时方程仅有平凡解（因为1=(x+ay)(x-ay)）。 对非平方数的正整数d, 丢番图方程叫做Pell方程。
沿着历史发展的轨迹，下次我们介绍在数论中占有重要地位的Pell方程及其解的结构。
