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2006-11-19

[转载] 从Ramsey理论到Green-Tao定理的史话

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[3] Pell方程与二次域

“数学是科学的女王，数论是数学的女王。”——Gauss （高斯）

前面说到Lagrange用连分数方法求解Pell方程。其实他的许多数学工作对19世纪的数学有重要的启蒙作用。Lagrange认为一元三、四次多项式方程求根公式的发现带有偶然性，他力图用统一的观点处理代数方程的求解问题，为此，他从根的对称性出发引入原代数方程（一元多项式方程）的Lagrange预解方程。对于次数小于5的代数方程，Lagrange预解方程可化为次数更低的方程，故可通过降次来求得原方程的解。如此Lagrange统一了到那时已知的一至四次方程的解法，但令他无比困惑的要解一般的五次方程就必须面临次数大于5的更复杂的预解方程。Lagrange在1770年发表的论文《关于代数方程解法的思考》导致十九世纪伟大的 Abel (1802-1829)引入相当于域的概念并证明一般字母系数的一元n>4次方程无求根公式（即其根无法用有理数及方程系数的有限次加减乘除与开方表示出来），以及法国的传奇数学家Galois (1811-1832)天才般地发明（置换）群的伟大概念（包括引入正规子群、同构、单群、可解群等群论中核心术语）并通过域扩张的Galois理论彻底解决什么样的代数方程可用根式求解（例如：他指出 x^5-4x+2=0 就不是根式可解的）。挪威这样的小国出了数学英雄Abel后，受Abel事迹的鼓舞，中学教师Sylow（1832-1918）发现了群论中基本又重要的Sylow三个定理；另一位挪威数学家Lie（1842-1899）则从Galois用（置换）群处理代数方程的成功中得到启示，创造性地引入连续变换群来研究微分方程（现在分析中很重要的Lie群是解析流形的保持解析性的群结构）。今年9月初在威海开会时与波兰数论学家Schinzel院士交谈时我提到波兰这样的小国居然出了好多著名数学家，他却说挪威更典型。

一个带有“抽象乘法”*的非空集合叫做半群，指那个乘法*满足结合律。群中还有乘法单位元（也叫幺元，它与任一个元的乘积仍等于那个元素），群中每个元在那个群中有乘法逆元。例如：全体复整数a+bi (其中a与b为普通整数)依加法构成Abel群（即交换群），依乘法构成交换幺半群，此外乘对加有分配律且乘法无零因子，故它们构成一个整环（无零因子的交换幺环）Z[i]。由于 (a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i 且 (x+yi)(x-yi)=x^+y^2 , 我们有 (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 , 因而两个整数的平方和构成乘法幺半群。Euler发明了一个恒等式，由它知四个整数的平方和对乘法封闭，因而Euler把证明四平方和定理化为证明每个素数可表为四个整数的平方和。复数的几何形式是二维的，由于不知道数论中三整数平方和对乘法不封闭，Hamilton（1805-1865）徒劳地花了好多年时间去寻找具有三维几何形式的“超复数”a+bi+cj（其中a、b、c为实数）。意识到这根本不可能后，Hamilton最终放弃乘法交换律要求在1843年找出四维形式的四元数[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 4 ]（四元数构成体，其性质类似于复数但乘法不满足交换律），这项工作大大推动了代数学与矢量分析的发展。Hamilton的学生Maxwell（1831-1879）以此为基本工具提出概括电磁理论的Maxwell方程组，使电磁理论登峰造极、大放光彩。Grassmann(1809-1877) 进一步推广Hamilton的工作，通过放弃乘法结合律获得八元数，他还引入后来变得重要的向量空间的外代数。

现在用群的观点来看Pell方程。设正整数d>1无平方因子（即是不同素数的乘积），则

$G_d={x+y \sqrt{d}: x^2-dy^2=1}$

依乘法构成Abel群. 显然 $1=1+0 \sqrt{d}$ 属于 G_d 。如果 s^2-dt^2=1 且 x^2-dy^2=1 , 那么

$(s+t \sqrt{d})(x+y \sqrt{d})=(sx+dty)+(sy+tx) \sqrt{d})$ ,
(sx+^2-d(sy+tx)^2= (s^2-dt^2)(x^2-dy^2)=1

而且 $1/(x+y \sqrt(d))=x-y \sqrt{d}$ 属于 G_d 。可以证明 G_d 这个群是个循环群，事实上 $G_d={(x_1+y_1 \sqrt(d))^m$ : m为整数

这儿 (x_1,y_1) 是Pell方程 x^2-dy^2=1 的最小(正整数)解。估计Pell方程最小解的上界是很困难的事。

有理数域中添加 $\sqrt{d}$ 生成的二次域{ $Q(\sqrt(d))={x+y \sqrt(d)$ : x,y为有理数}是代数数论的基本研究对象。d被4除余2或3时，方程 |x^2-dy^2|=1 的最小正整数解(u,v)对应的 $\epsilon=u+v \sqrt{d}$ 叫实二次域 $Q(\sqrt{d})$ 的基本单位。d被4除余1时方程 |x^2-dy^2|=4 最小正整数解(u,v)对应的 $\epsilon=u+v \sqrt{d}$ 叫实二次域 $Q(\sqrt{d})$ 的基本单位。有个仍未解决的猜想断言d是4倍数加1的素数时v不被d整除。

算术基本定理断言每个非零整数都可唯一地表成一个单位（1或-1）及有限个（正）素数的乘积，尽管Euclid就已意识到这个基本结果，但第一个严格的证明才由Gauss在其1801年出版的成名作《算术探讨》中给出。除4余1的素数p可表成两个正整数平方和 x^2+y^2 表明p在Gauss复整数环Z[i]=Z+Zi中还可分解：p=(x+yi)(x-yi). Gauss证明Z[i]仍为唯一因子分解整环（即其中非零元可表成不可约元的乘积，除了因子可能相差Z[i]中单位1, -1, i, -i外分解方式还是唯一的）。

首一的dty一元整系数多项式方程的根叫代数整数，全体代数整数构成整环。对于无平方因子的整数d, 二次域 $Q(\sqrt{d})$ 中代数整数构成的环 R_d ={a+b $\theta$ : a,b∈Z}, 其中 $\theta$ 为 $\sqrt{d}$ (d被4除余2或3时) 或 $(-1+\sqrt{d})/2$ （d除4余1时）。已知 R_d 依范数绝对值 $N(a+b \sqrt{d})=|a^2-db^2|$ 这个度量可作“带余除法”（余数度量小于除数的度量）当且仅当d为下列数之一：-1, -2, -3, -7, -11, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

具有“带余除法”的那些 R_d 必是唯一因子分解整环 [对 R_d 而言，它是主理想整环（不介绍定义了）等价于它是唯一因子分解整环]。1801年Gauss猜测d<0时 R_d 是唯一因子分解整环当且仅当d是-1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163这九个数之一。Stark（1939-）在1967年彻底证实了Gauss的这个猜测，其实这类似于Heegner更早的差点被埋没的工作。Gauss还猜测有无穷多个无平方因子的正整数d使得R_d为唯一因子分解整环，这个困难的猜想至今仍悬而未决。

华罗庚教授的《数论导引》中提到这样的“未解决问题”：对哪些整数p>1,多项式 x^2-x+p 在x=1,2,…,p-1时都给出素数？（Euler在1772年就注意到可取p=41）其实，Rabinowitsch早已1912年就指出p是这样的数当且仅当4p-1无平方因子且 $R_{1-4p}$ 是唯一因子分解整环（证明并不难，八十年代我做学生时注意到《科学通报》上还有人重复发表这一结果）。由1-4p=-7, -11, -19, -43, -67, -163 可得p=2, 3, 5, 11, 17, 41。Euler发现的41已是最大的这样的p了。

德国数学家Gauss (1777-1855)有“数学王子”的美誉。他在15岁时发现了深奥的素数定理，19岁时因解决用圆规与直尺作正n边形的可能性问题（如正17边形可作）而崭露头角，22岁时因证明代数基本定理（复系数的一元n次方程恰有n个复根）获得博士学位。1801年Gauss发表了著名的《算术探讨》，在其中他引入了同余式记号[ a≡b (mod m) 指a与b相差一个m的倍数]并系统研究了同余方程、一般的二元二次丢番图方程以及二元二次型表示整数的问题，特别地他首先严格证明了Euler所猜测的二次互反律 [ p与q为不同奇素数时，如果其中之一被4除余1，则 x^2 ≡p (mod q)有解当且仅当 x^2 ≡q (mod p)有解；如果两者都被4除余3，则 x^2 ≡p (mod q)有解当且仅当 x^2 ≡q (mod p)无解]。华罗庚在《数论导引》中写道：“Gauss称二次互反律为‘数论之酵母’，后来Kummer、Eisenstein、Hilbert、高木贞治、Artin、Furtangler等之代数数论之研究证明此说实深且切也！”

《算术探讨》这本光辉著作的出版标志着数论已作为数学的一个重要分支登上舞台，最小二乘法以及 x^n=1 的根式可解性也是Gauss值得一提的重要工作。Gauss在几何、物理、天文学方面也有许多建树。对年轻的数学家Gauss显得有些冷淡，例如：Abel寄给他的包含论文的信他至死也未打开。不过Gauss去世后遗留的数学日记清楚地表明他早意识到非Euclid几何，而且椭圆函数的双周期性（Abel的伟大发现）的确出现于Gauss更早的日记中。Gauss墓碑上正十七边形的图案只显示了他最初的一大成就。

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