库仑定律扯淡
前些天写课程论文，做了个和库仑定律有关的问题，顺便就扯上几句吧，哪里扯得不对还请多多指正。
库仑定律：
描述了两个孤立点电荷之间静电作用的情况，这是电磁学发展史上的第一个定量定律，电学的研究从此由定性进入定量阶段；它也是电磁学乃至整个物理学最重要的定律之一。其形式与熟知的万有引力定律十分相似，都是平方反比定律。人们很早就知道，引力是平方反比有心力，可以用高斯定理描述。18世纪中叶，Franklin发现，带电金属壳对壳内的电荷无作用力，这与引力作用非常类似。他的朋友Priestley随即意识到，这可能正说明了静电力是平方反比作用力。
1785年，法国物理学家库仑受先前设计罗盘磁针工作的启发，设计了一台以他的名字命名的扭秤（见下图），测定了静电力是平方反比力；而先前的工作是受军方委托而作的，最初的目的是为提高航海罗盘精度。库仑扭秤的原理与后来的卡文迪许扭秤类似，由悬丝、小球和轻杆组成，小球所受的电力力矩被悬丝的扭力矩平衡，从扭秤扭转角度可以测得小球受静电力的情况。另外库仑还做了扭力磁偏罗盘、电单摆等实验，这些实验都说明了静电力是平方反比定律。库仑定律也就此建立。
关于高斯定理
高斯定理是个好东西，用它求解有心力问题非常方便，特别是对于外形规则对称物体来说更是如此。让我不能理解的是，新概念物理学教程《力学》一册的第二版居然把这部分删掉了，当时这可是给我印象最深，自以为是全书写得最好的部分之一啊。
关于引力的高斯定理这里不谈，对于静电场，它的形式是：
其中qin是闭合曲面内的电荷，dS是曲面面元；也可以利用矢量分析的相关定理将其改写为微分形式。该定理与库仑定律可以相互推导得出；而由于高斯定理不仅适合于点电荷，对所有带电体都适用，故可以认为它比库仑定律更普适、更基本。但是从另一种意义上说，由于高斯定理仅在库仑力是严格平方反比的条件下方能成立，所以它不过是平方反比的库仑定律另一种表达形式而已，其普适性反而没有库仑定律强。因为如果能够确定库仑力偏离了平方反比，库仑定律做一些小的修正即可，而高斯定理则是彻底失效。
先姑且认为高斯定理成立，那么我们可以用它来解决很多实际问题，如平衡状态下导体的电场分布、带电系统的稳定性等。由之也可以得到电场分布的几个基本性质，如场线必不相交，始于正止于负等；它也是日后检验库仑定律与平方反比定律差异的一个理论依据。
关于库仑定律的修正
自库仑定律提出以来，人们一直试图通过实验检验它与严格平方反比定律的偏差。早在该定律提出之前的1772年，卡文迪许即设计了一个示零实验，未检验出带电导体球壳内部有任何带电迹象，只是当时他没有将这一结果发表。后人的实验基本遵循了他的思路。其原理是：高斯定理成立的前提是库仑定律遵循严格的平方反比关系，这可以从高斯定理由库仑定律推导的过程看出。也就是说，如果库仑定律偏离平方反比，高斯定理将不再成立。定性分析可以取两个相对的面元（即对某点所张立体角相同）进行相关推导。这里用球壳为例作个简单的积分运算，结果是，如果库仑定律是平方反比定律，那么球壳内电场为0；反之则有内场不为0的结果。也就是说，库仑定律是否严格平方反比有着本质的区别。下面两图是我的计算结果，其中上图反映了与平方的指数偏差值为正时球壳内的电场分布，下图是偏差值为负值时的情况（绘制这些图时取两个电荷为同号，半径等参数是我随意设置的，所以坐标轴的刻度值没什么意义）。
由以上2图可见，如库仑力不是平方反比定律，则只有球心一点的电场强度为0，其余各处均不为0。实际操作常用的是麦克斯韦的方法，使用器材是两个同心导体壳和带绝缘柄的导体片，另有静电计（现在也有一些改进的设备，这里就不详谈了）。当然，库仑使用的扭秤法也可进行检验，但因提高扭秤精度比较困难，而且测量异号电荷时扭秤的平衡是不稳定的（因库仑力与距离2次方成反比，随距离变化改变的速度要快于扭力改变的速度），所以往往不采用这样的方法。而麦克斯韦的方法较简单，且随技术的进步，精度已有了大幅度提高，已经可以达到10-16的量级。目前的结果是还没有发现库仑定律与平方反比的偏差。
而20世纪30年代，物理学家Proca发现，如果库仑定律不是严格的平方反比定律，就说明光子的静质量不是0。如果光子有有限的静质量，这对物理学的影响是巨大的。不仅仅是所有与静电力有关的现象都要作修正，麦克斯韦方程组要作改变，光速不变原理在此时也不复成立，在真空中将出现光的色散。Proca的工作为人们提出了检验库仑定律偏离平方反比与否的新方法。
关于磁的库仑定律与安培定律
磁的库仑定律是库仑在1789年提出的，其确立途径与静电库仑定律类似。它的表达式也与静电库仑定律一样，只是这里点电荷要用点磁荷代替，常量k也变为与真空磁导率有关的数值。另外由库仑定律导出的一系列电学公式都可以移植到磁学中。
安培定律则有如下形式：
其形式也与库仑定律很类似。它描述了两个载流回路之间的相互作用，这是稳定磁场的基本规律之一，由之人们定义了磁场强度。
安培定律是在1820年得出的，这一年也是电磁学史上关键的一年。丹麦人奥斯特正是在这一年夏季公布了他关于电流磁效应的著名实验，在物理学界引起了震动。之后各国物理学家陆续作了一系列实验研究电流磁效应，年底安培定律的提出则是顺理成章的了。安培为研究电流相互作用，精心设计了4个示零实验，在当年12月发表了结果，自此物理学教科书被改写。而实际上电与磁是密不可分的，电场与磁场也是相对的。最终麦克斯韦方程组将电与磁统一起来。
关于库仑定律和万有引力定律
库仑定律和万有引力定律在形式上确实很象：平方反比。但正如某些物理学家所说：相似之处到此为止。
从形式上看，首先是强度的差别，在原子中静电力的大小是引力的1039倍，所以在讨论亚原子问题的时候，常常是不考虑万有引力作用的。其次，静电力可以是吸引力，也可以是排斥力，而万有引力只能是吸引力。而正因为静电力可以是引力或斥力，所以它可以被屏蔽，但引力就无法屏蔽掉。再次，电荷是不连续的，以e（或夸克所带的分数电荷）为单位，任何物体所带电荷都应该是这个单位的整数倍，但质量是连续变化的。
如果从更深层看，传递引力和静电力的粒子性质根本不相同，而引力的媒介——引力子由于检验的极端困难，至今还停留在理论阶段。另外，电荷不象质量那样存在相对论效应。在精确计算中，引力要按相对论加以修正，但静电力并无相应的修正。爱因斯坦穷其后半生精力试图统一引力与电力，终以失败告终；而直到今天，引力与其他3种基本作用力的统一仍是让许多物理学家头疼的问题。
那么库仑定律和万有引力定律的相似到底有没有什么深层含义呢？也许有，但可能要等到TOE（Theories of Everything）真正提出之后才能为人理解……
参考书目：
关于高斯定理的一些应用，详见《费恩曼物理学讲义》第2卷
关于库仑定律与严格平方反比定律的偏差问题与Proca的理论，在《电磁学专题研究》（陈秉乾、舒幼生、胡望雨著，高等教育出版社出版）一书中有相关讨论
关于安培所作的4个示零实验和电磁场的相对性，可参考《新概念物理学教程：电磁学》，赵凯华、陈熙谋著，高等教育出版社出版
