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2007-10-15

位力定理与天文学

归档于: 天文空间科学, 知识理论 @ 10:46 pm

位力定理又译作维里定理,广泛用于描述自引力系统在平衡状态下不同形式的能量之间的关系。由于天文学的研究对象多为自引力系统,自然少不了把位力定理作为研究工具。不妨在此总结一下位力定理的天文用途,也算是方便自用吧。

关于位力定理的来源,在George W. Collins的The Virial Theorem in Stellar Astrophysics一书中讲得很清楚,拉格朗日和雅可比关于N体问题的讨论可以算作是基础,明确提出则是克劳修斯的功劳。1870年夏天,克劳修斯在一次报告中提到了“系统的平均活力(vis viva)等于其维里(virial)”。换用现代语言,维里是合力F与矢径的标积平均值之半,也就是势能之半;而活力是系统的总动能。用公式表达如下:

这就是理想气体的位力定理。之后,瑞利勋爵提出了位力定理的普遍形式,庞加莱、钱德拉塞卡、费米等人又对该定理作了进一步的发展。

顺便说句闲话,由维里的定义,可见“位力”的翻译倒是更为准确,力与位置的标积嘛!

关于位力定理的导出,可以将维里看作是系统惯量的时间导数,再进一步对维里求导得出,当然也需要证明,对稳定系统,惯量的二阶时间导数平均值为0,过程也不算太麻烦。在天文学上,亦可由流体静力学平衡条件推知,不过后一方法使用范围比较受限,具体过程可以参考Kippenhahn和Weigert的Stellar Structure and Evolution。需要特别注意的是,前面提供的表达式仅限于理想单原子气体,其他气体由于绝热指数不同,故系数会有所变化。

 

恒星的形成

一般认为,恒星是由分子云坍缩形成的。设云团是自引力束缚系统且为成分理想气体,按位力定理,稳定的分子云应有 ,如 不为零,云团必然会发生运动,当 大于0时则膨胀,小于0时收缩。

若动能由气体分子无规运动提供,则根据位力定理导出,发生坍缩的条件是:

MJ就是著名的金斯质量,也是分子云可以坍缩成恒星的质量下限,亦可由此推出云团坍缩的半径下限——金斯半径。其中是云团的平均分子量,是密度。

此外,根据位力定理,也可推出自引力作用下收缩的系统会伴随有辐射和内能增加,对于理想气体,是释放的引力能一半会转化成辐射,另一半转化为内能。这就是原恒星在收缩过程中温度升高的原因,也是核聚变点火的前提之一。

 

星震

星体在径向有周期性的小震动时的情形。求解的具体过程很烦琐,但思路还是比较明确的。从位力定理的推导出发,即:

将上式中的参数I、T、U写成平衡量+小量的形式并代入,可以整理得出一个简谐振动的方程,即可求出星震周期

 

恒星内部温度

比较简单,由位力定理,可以找出恒星内能(相当于分子无规则运动的动能)与势能之间的关系,结合气体状态方程,就可以用质量和半径导出恒星的温度了。

 

较差自转星体的稳定性

1960-1970年代发展起来的手段,涉及张量位力定理,和不同方向上的能量关系有关,个人对此所知甚少,先不讲了……

 

关于白矮星

主要是为了讨论磁场和自转对白矮星的影响,因此位力定理的表达式必须要增加这两项,变为:

其中W指引力势能,U是内能,m是磁能。这是讨论的出发点。为平均值的表示方便起见,可以引入若干常数作为系数,再进行求解,由此可以导出星体半径和质量的变化,如有自转的白矮星质量上限要大于钱德拉塞卡极限,且刚体自转与较差自转各有不同的情况;有磁场的白矮星的半径会比无磁场更大,等等。

 

Faber-Jackson关系

椭圆星系的一个统计关系,光度正比于速度弥散的四次方。形式上看,这一关系与旋涡星系的Tully-Fisher关系形式接近,但解释大不相同。对于旋涡星系,速度归结于引力作用下的自转,因此自然可以将速度与质量联系。对于速度非常弥散的椭圆星系,无法采用引力作用下的自转来讨论,只能诉诸位力定理。

由于椭圆星系中,恒星弥散运动的动能可近似为恒星本身的动能,在平衡的情况下,自然有如下关系:

而星系的表面亮度正比于,其中L是光度。这样可以用光度和表面亮度表示上式右侧,再假设质光比和表面亮度近似恒定,可以得出光度的平方根正比于速度弥散的两次方,也就是光度正比于速度弥散的四次方,此即Faber-Jackson关系。

当然,对于Tully-Fisher关系,也可以进行类似的推导。而有了速度弥散,求出星系的质量更是不成问题。

如果考虑自转,还可以利用位力定理讨论椭圆星系的扁率。

但真实的星系并非完全维里化的系统,因此上述讨论就成了某种程度上近似,也是实际应用时需要特别注意的。

 

星系团

星系团是目前已知最大尺度的自引力束缚系统,其上的超星系团已是引力上疏散的结构。星系团的总质量一般是利用位力定理估算而出的。

此外,由于通过速度弥散计算出的星系团总质量比成员星系之和大得多,这也就为暗物质的存在提供了另一条证据。实际上,这也是当年Zwicky通过分析后发星系团推测暗物质存在的方法。

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