湍流与Kolmogorov分布理论
流体力学的一个关键参数是无量纲的雷诺数，定义为惯性力与粘性力之比，也是总动量传输与分子动量传输之比。写成数学表达式就是
，其中
、
和
各表示流体的密度、特征尺度以及运动速度，
和
分别指动力学粘性和运动学粘性，都是流体受到应力后应变的度量，与流体内部分子之间的作用力有关，其中后者与前者相差一个密度的系数，它们的量纲不难从雷诺数的定义推导出来。显然，流体的粘性越低，流动性就越好。如果
比较小，流体表现为层流，各层物质彼此平行，互不混合；随着
逐渐增大，流体逐渐表现出混沌特性，一般认为当雷诺数超过几千的时候，湍流出现。
一直以来，湍流都是一个很难解决的问题，因为相关的行为混沌且高度非线性。它最重要的特征包括对流主导、流场高度不规则、速度与密度等物理参数多变等等。
很多流体力学家都喜欢引用葛饰北斋的浮世绘作品《神奈川冲浪里》来作为湍流的范例。以物理的角度来看，这张画作最重要的一点就是形象地描绘出了湍流在不同尺度上的行为：
真实的湍流也如葛饰北斋的绘画所表现的一样，具有不同尺度的涡旋。动能从大尺度注入流场，然后大尺度涡旋逐次瓦解，能量通过非粘性过程传递给更小的尺度，并产生小型涡旋，依此类推。但是这个过程并不会无限进行下去，若尺度足够小，雷诺数接近于1，分子扩散成为主导，粘性力占据支配地位，非粘性能量传递不再发生，动能则经由耗散转化为热能，因此涡旋的最小尺度不会小于此值。
实验室中的湍流，不妨与上图比较一下。（图片提供：I. Afanassiev/U. of Newfoundland）
在描述湍流行为的理论中，Kolmogorov尺度分布理论是相当重要也是非常普适的一种。它最早由前苏联数学家Andrei N. Kolmogorov（就是下图中的那位）在1941年提出，其推导过程是量纲分析的经典范例。
以下用代表长度量纲，
代表时间量纲，
代表质量量纲。从动能的表达式可见，能量的量纲如下：
需要注意的是，Kolmogorov理论中的并不是能量本身，而是单位波数范围、单位质量物质所具有的动能，单位质量的总能量需要对
求波数的积分才能得到。首先引入波数的概念。对于特征尺度为
的涡旋，波数
定义为
。这样它就相当于单位长度内某特征尺度涡旋个数的度量。这样波数的量纲就是
，因此
的量纲是：
由此，单位时间单位质量的能流就具有量纲：
由于在湍流中，能量是逐级传递的，合理的假设就是某一尺度上的能量与尺度和能流有关，也就是：
这样由、
和
的量纲就不难解出，
，
。
当然，这里还有一个系数需要实验来确定，不过巧的是它非常接近1（1.5左右），所以直接写成也是大差不差的。另外也可以将它改写成以特征长度
表示的形式，过程并不复杂，这里就不赘述了。
另外湍流尺度下限也可以通过量纲分析大致给出，假设这一下限只与运动学粘性以及能流
有关，不难得到
。
接下来的问题就是与
的关系了。Kolmogorov理论根据湍流的自相似性，假设在所有尺度上
都是常数，由此
自然也是常数，因此只剩下了与波数有关的项，这就是为人熟知的
。这一关系也可以根据能流为常数的假设直接得出。若以流体跨越涡旋的特征时标
为能量转移的时标，则能流可以表示为：
因此可得特征速度与特征尺度的三分之一次方成正比。而由于动能就相当于，即
，且波数与特征长度的倒数成正比，很容易就可以导出-5/3次方的关系来。
如果再考虑磁场，能流可能会发生变化而不再是常数，由此就有了不同的能量分布，不过它们万变不离其宗，与Kolmogorov的原始理论大差不差，比如与波数-3/2次方成正比的Iroshnikov-Kraichnan理论、波数与能量的关系在垂直和平行于磁场方向上不同的Goldreich-Sridhar理论等。
更复杂的理论也存在，不再仅仅与能流和波数的简单幂律有关。在高雷诺数的场合下，Kolmogorov分布表现得很好，不过随着雷诺数的降低，需要进行更多的修正。另外Kolmogorov最初只考虑了动能从大尺度向小尺度的传递，实际情况下反方向的能流也存在。
很讽刺的是，天体物理中的湍流往往包含磁场成分，按说不应该是简单的-5/3次方分布，但是实际观测的结果却与Kolmogorov理论吻合得很好。这与上段中提到的修正都说明，对于湍流，有待探讨的事情着实还有很多。
