所谓自相似解
这半年来一直在跟相对论性激波打交道，第一步需要完成的当然就是将堪称经典的Blandford & McKee (1976)彻底推导一遍。这篇论文给出的结论可以认为是描述非相对论性点爆炸的Sedov-Taylor第一类自相似解在相对论情况下的类比，也是整个当代伽玛射线暴理论的基础，重要性不言自明。
不过数学推导归数学，在物理上所谓的自相似解要如何理解？这就是另一件事了。就个人推导过程中的经验来说，这里的数学技巧与物理含义还真是两茬子事。数学方面的推导过程固然繁琐，但好歹还算是思路明晰。而物理含义就有些抽象了，总是要费一些神才能搞清楚的。本文所说的也就是个人对此问题的认识，欢迎读者补充指正。
先说一说自相似解描述的物理过程。无论是相对论还是非相对论，也无论是第一类还是第二类解，其要探讨的问题都是爆炸产生的激波传播过程。Sedov-Taylor解的原始形式描述的是各向同性点爆炸的后续事件。因为是点爆炸近似，所以初始能量的注入是对无限小区域完成的。又因为是各向同性近似，所以爆炸产生的激波也是球状的，只需探讨在径向方向上的行为即可。
非相对论流体的Sedov-Taylor解也好，相对论流体的Blandford & McKee解也罢，又或者是后面要提到第二类Waxman & Shvarts解（非相对论）和Best & Sari解（相对论），它们都是以渐近自相似假设为基础的。这一假设认为，若激波在演化时间趋于无穷时尺度发散，带有时间或长度量纲的常量就只与爆炸的初始条件有关，而完全不会影响演化后期流场的形态。换句话说，激波后期的行为不能再用初始的特征时间和长度来描述。这样的假设是有着充分的物理依据的：流体力学的基本方程组中并不存在这样的常量，因此在任何流体过程趋于稳定后，描述它也理应不需要相应的常量。
什么是自相似？所有这些自相似解都引入了一个自相似变量ξ，用它来描述演化后期的流场，而激波中的一切物理量都可以用ξ的指数来表达。由于后期激波不依赖于爆炸之初的特征时间/长度，这个变量也应该是无量纲的，由两个长度量纲的物理量相除而得，对于非相对论流体而言可以理解为径向坐标r与激波的传播半径兼流场特征尺度R之比再乘以一个系数，而对于相对论流体来说则可以理解为径向坐标的变体R-r与激波厚度R/Γ2之比，这里的Γ是激波波面的洛伦兹因子。在自相似描述下，流场形态时时相似，只是依照R随时间的变化有所拉伸而已，是为自相似。
这里斗胆借用当年在计算天文课程上两位同学的一维Sedov解模拟结果作为示例，来说明这个拉伸是什么概念。下图从上到下分别为压强、速度和密度分布随时间的演化：
其他物理量随ξ变化的指数要如何确定？这里就要分出一二类自相似解了。两类自相似解的划分最初见于Ya. B. Zel’dovich与Yu. P. Raizer的著作Physics of Shock Waves and High Temperature Hydrodynamic Phenomena，其中提到第一类自相似解可以纯由量纲考虑而得，而第二类自相似解是从流体方程的奇点出发推出的。不过在具体推导过程中，这个量纲考虑只能推出非相对论性的Sedov-Taylor解变量。对于相对论情形来说，出于简化计算的考虑，Blandford & McKee解又引入了一个与ξ有关的新变量χ，所有物理量最后是以χ表示的。最终求解必须要从求解流体微分方程组出发，整个过程也是颇有数学技巧的，本人承认，如果不去参考原始文献，这个过程自己还真的是无法完全重复出来……
所以还是大致说一说Sedov-Taylor解的求算好了。前面说过，激波演化后期，流场完全与初始条件无关。那么爆炸的初始条件究竟是干什么用的？它们除了可以决定初期激波的行为，还可以帮助确定自相似解的形式。这其中需要用到的初始条件有二，一是爆炸能量E，二是周边介质密度ρ。若尝试用径向坐标r、时间t、能量E与介质密度ρ来组合出一个无量纲量表示ξ，换句话说就是用t、E和ρ来表示激波半径R，就不难求出满足要求的t、E和ρ的指数组合。至于具体系数的确定，就要依赖对流体方程组的代换过程以及能量考虑了。
从物理上说，第一类自相似解对应能量守恒，第二类解要考虑特征速度线的问题。如果是讨论Sedov-Taylor解的原始形态，只涉及均匀密度介质下的点爆炸，其实压根就没有什么第二类解的事。但为了照顾通用性，后来的工作又将均匀密度假设扩展成了幂律分布，n~r-k，而相对论性激波干脆从一开始就已经涉及了幂律分布介质的问题。此时k与其他物理量（于相对论性激波是洛伦兹因子Γ，于非相对论性是R）随时间演化的指数之间也存在特定的关系。这样就出现了能量守恒条件可能不适用的情况。
相对论性激波能量守恒条件的推导还算简单，只要满足能量积分不发散的要求即可，由此导出的要求是在球对称情况下k小于4；非相对论性情况反而更复杂些。首先是从激波半径随时间的演化看，k若大于5，则出现晚期激波半径R随时间推移而减小，显然不符合实际情况。而进一步的分析表明，在k大于3的情况下，流场中就已经存在部分不满足自相似假设的区域。虽然该区域的尺度与R成正比，但同时这里的特性亦是与爆炸的初始条件相关，因此自相似解，至少是第一类自相似解不适用。而在k的允许范围之内的某个区间里，Sedov-Taylor解还存在所谓的空心解，说是虽然遭遇了密度奇点，但仍旧具有可积性。这空心解本人至今没能很好地理解，要不还是直接做个数值模拟，看一看现象算了？
第一类解所要求的能量守恒还算容易理解，第二类解的特征速度线就颇让人头大了。相对论性激波此时还需要重新定义坐标原点，保证ξ取值合理的问题，不过在本人看来这实在是小事一桩。这里的特征速度指的是什么呢？个人的理解是信息传播的最大速度，等于是激波中的流体速度与声速之和C+。实际上在流体中，特征速度一共有三种，C+、声速C0以及流速与声速之差C-，不过与第二类解真正相关的只是C+而已。
从直观上说，可以认为第一类解的情况下，在R较大的区域仍有着足够高的外部介质，因此能够有效为激波减速。但随着密度梯度的增加（也就是远离爆源处密度的减少），激波波面是一直加速的。当波后流体速度增加到足够快，快过了流场中信息传播可以达到的最大速度，波面就与爆源脱离了因果联系，而特征速度线就是流场内外区的分隔，自相似解只能描述从波面到特征速度线之间仍旧保有因果联系的外区，而对靠近的爆源的内区不再适用。
另一方面，无论是相对论还是非相对论流体方程，在第二类解的k取值范围内都会存在奇点，换句话说是相应的微分方程组分母等于零。为了回避这一奇点，需要与此同时分子也同样为零，解的具体形式就此得出。好巧不巧的是，二者让分子分母同时为零对应的取值都正是特征速度线，由此第二类解就具备了明确的物理含义。要说Waxman & Shvarts (1993)能够认识到这一点也实属不易，至于应付相对论性激波第二类解的Best & Sari (2000)，从物理上看那就纯粹是对前者的照猫画虎了。（合作导师有云：你以为Eli Waxman能够成名，是因为中微子吗？）
什么，你说均匀密度介质已经是大差不差，在实际应用中再考虑个k=2的星风环境就已经足够，至于讨论大于4的k有什么实际意义？这样想可就大错特错了。首先探讨不同k值时激波的行为对于整个流体理论都是很重要的，属于真正的基础研究。其次，真还不能断言极陡的介质密度梯度是不具备任何实用性的，比如超新星或伽玛暴爆发前激波突破星体包层的过程就可以借助第二类解来进行讨论。
壳层型超新星遗迹的典型代表——仙后A，其形态完全可以归为爆发抛射物和星周介质的相互作用，可以用Sedov-Taylor解来描述。（图片提供：X射线：NASA/CXC/SAO；可见光：NASA/STScI；红外：NASA/JPL-Caltech）
Sedov-Taylor解的应用范围就要广泛得多了。在天体物理学中，它最重要的用途当属描述超新星遗迹。不过这里有一点很重要的限制：自相似解必须要等到激波演化后期，初始条件可以忽略不计的时候才可以发挥作用，否则它给出的激波传播速度会过高，远大于爆发抛射物实际的初始速度。对于超新星遗迹来说，年龄不足几十年的时候是不能使用Sedov-Taylor解来描述的。另一方面，Sedov-Taylor解还是基于绝热近似求得的，因此不适用于辐射损能不可忽略不计，且内外压强近似相等的老年遗迹。当然，蟹状星云这样的实心型遗迹单纯由中央脉冲星自转（而非爆发激波与星周介质相互作用）供能，Sedov-Taylor也发挥不上作用。不过除了伽玛暴标准模型之外，Blandford & McKee解倒是没有见过其他的应用，也许在活动星系核喷流的研究中会派得上用场，不过本人并不清楚这方面的详情，还是不妄加评论了。也是，除了伽玛暴这种极端的现象，又能有多少地方需要用到相对论性激波理论？
最后必须要说明的是，无论是相对论还是非相对论流体，第一类和第二类解之间都存在空白点。第一类解的k值上限很容易确定，而第二类解必须满足特征速度线位于波后这一条件才能具有实际意义，因此其k值下限与第一类解的上限并不等同。Gruzinov (2003)曾经提出了“活塞模型”来尝试填补二者之间的未知地带。考虑非相对论流体的Sedov-Taylor解是减速解，Waxman & Shvarts解是加速解，Gruzinov认为二者之间应该可以用恒速解来衔接。恒速解的流场也分为内外两区，不具备自相似性的内区为自相似的外区发挥着恒速活塞的作用。后来Sari (2006)提出，这一模型貌似可以推广到相对论情形，只是此时抛射物惯性过大，在第一类解的范围内即已从减速过渡为加速，此时的活塞也不再是作恒速运动的。不过说实话，Gruzinov解至今尚未被公认，因此只是在此一提而已。
