限定光子的质量
麦克斯韦的电磁场方程是电磁学的基础，也是经典物理学的基石之一。但麦克斯韦方程成立的前提被很多人忽略了——真空光速与波长或频率无关，是个恒定不变的常数，由此得出的推论就是光子质量为零，否则根据爱因斯坦的狭义相对论，光子的运动速度必然小于真空光速，且具体速度值依赖于频率。随后的量子电动力学也默认了光子质量为零但具有能量、动量和角动量的特性。因此倘或能够设法限定光子的质量，对整个物理学都是非常重要的。
首先要指出的是，就算光子有质量，这个数值也是非常小的。无论是经典麦克斯韦理论还是量子电动力学，它们在应用上都取得了巨大的成功，尤其是量子电动力学，已经在高得不可思议的精度上通过了一个又一个的实验检验，所以自然界实际的运作机制不可能与理论偏差太多，对光子微小质量的限定也就化作了对精度的追求。从测不准原理出发，代入当前宇宙的年龄，实验可以给出的光子质量下限不可能低于10-66克，而所有检验的目标正是尽量朝此数值逼近。
如果光子具有非零质量，会有何等后果？首当其冲的是麦克斯韦方程组不再成立，而是由Proca方程取而代之，式中的μγ是光子的质量:
很自然地，当光子质量为零的时候，Proca方程自动退化为麦克斯韦方程。根据Proca方程，光子的相速度和群速度皆取决于光子的质量与频率，且两种速度彼此不再相等。换句话说，真空中传播的光子会出现色散，且光源距离越远、不同光子的波长差异越大、光子质量越大，接收到的光子到达时间差也就越大。
这里还需要说明的一点是，之前在站里介绍过洛伦兹不变性破缺的检验。根据量子引力的预言，时空在极小的尺度下可能是呈泡沫状的，高能光子较低能光子更能“感知”到这种泡沫结构，因此在传播过同样的距离时，高能光子实际的运行距离更长，也就相对低能光子产生了到达时间差。从现象上看，这与本文要讲的光子质量限定有异曲同工之处。只是这两种时间差的起源完全不同，前者来自时空结构，而后者是光子由本身的性质决定的，相关检验的目的不同，因此所要求的光子能量也不尽相同。对于检验洛伦兹不变性破缺来说，我们的目标是尽量提高对量子引力能标的限制，越接近普朗克能标越好，所以高能光子最适宜进行此项工作；而为了更好地限定光子的质量（也就是让求得的μγ尽可能变小），最好能在增大光源距离的同时尽量降低频率（因为低频光子波长更长）、缩短时间差，以得出更精确的结果，因此最好去选择宇宙学距离上的低频瞬变源。（虽然星际以至于星系际/星系团际空间并非空无一物，理论上说在其中传播的光子速度应该慢于真空光速，但毕竟宇宙空间中的物质极少，稀疏程度远胜过了地球上最好的实验室真空，所以这一点可以忽略不计了。）
与洛伦兹不变性破缺一样，现在对光子质量最好的天体限制也是来自伽玛暴的。不过这里用到的是爆发的射电余辉，而非高能瞬时辐射。精度最高的数据来自GRB 980703，通过比较瞬时辐射的伽玛光子与射电余辉到达的时间差，可以将光子质量限制到4.2×10-44克。这里要用到一个过度简化的假设，认为所有高低能光子都是同时从同样的辐射区发出的，由此给出的只是光子质量的上限。当然，瞬时辐射与余辉的辐射区不尽相同，而且这种到达时间差不仅仅会取决于光子质量，更与暴源的动力学演化有关。但这些因素都强烈依赖于伽玛暴的理论模型，会引入额外的不确定性，更何况伽玛暴只是恒星级事件，就算是余辉的辐射区尺度，与宇宙学距离相比也大可忽略不计，这样大刀阔斧的简化也还算合理。
伽玛暴瞬时辐射的高能数据虽然能够将时间差从几十小时降至数毫秒，但因为高能光子的波长差过小，而限定出的光子质量又只是与时间的平方根成正比，却更加依赖于波长，所以由此给出的限制效果并不好，比射电余辉差了好几个数量级。其他爆发性的天文现象，如耀变体、超新星和射电耀星，也曾被用于限制光子质量，但是也由于光变时标过长或观测频段过高的缘故，这些结果与伽玛暴射电余辉给出的限制差距不小。
在实验室中也可以通过测量不同频率的光速，来为光子质量提出限制。数十年来，实验测量表明，在很宽频段上的电磁波传播速度在很高的精度上都保持一致，对应的光子质量不能高于10-42克的量级，略逊于伽玛暴的限制，与耀星相当，而优于其他爆发天体。
当光子质量不为零的时候，静电力的平方反比定律也不再成立。这时静电势具备汤川形式：
由此会带来很多实验现象，如带电导体球壳内部电场将不再为零，而是存在电荷，这也是可以通过实验进行测量的。这其中的原理很久之前在旧文中提到过，只不过之前是假设静电力遵循1/r2+ε的形式来举例。这一渠道的检验方法大抵是当年卡文迪许同心球检验的翻版，下图就是卡文迪许所用仪器的示意图，其中内外两层球壳都是导体：
具体操作时，首先外层两半球壳闭合，内层球体经由导线与外层的一个半球相连。然后向外层球壳充电，随后撤去连接的导线，给外层球壳放电，并测量内层球体上的电荷。如果静电力相对平方反比定律有所偏离，球体上应该带电。为了提升精度，当代的同心球壳实验往往会向外层球壳通以高压交流电，并在两层球壳之间测量相对的电势差。随着测量精度的提升，这一方法给出的光子质量上限是了8×10-48克。
球壳之外，还有低温实验借助库仑定律说明，哪怕在1.36K的低温之下，光子的质量也不会大于1.5×10-42克——有些观点认为，光子可能会在某一临界温度之下才会具有质量。与库仑定律类似，安培定律也可以用于考察光子质量，因为不为零的光子质量会导致磁场的汤川式的指数衰减。实验室中进行的安培定律检验给出的光子质量不高于8.4×10-46克，而还有工作将地球和电离层视作共振腔，测量地磁场因指数项导致的改变，得到了精度与库仑定律的同心球检验相当的结果。
在Proca方程中，与麦克斯韦方程不同，矢量势A和标量势φ本身（而不仅仅是其导数）也通过质量而具有能量密度，都变成了可测量的物理量。利用卡文迪许扭秤，通过悬挂的环向线圈生成的磁偶极矢量势矩与周边大尺度宇宙磁矢量场A的相互作用，就可以测量出光子质量平方与A的乘积了。如果光子质量不为零，且宇宙磁矢量已知，那么扭秤就会受到一个可检测的扭矩。这种方法得到的光子质量与背景磁矢量耦合在一起，因此依赖于对星系团或银河系磁场的测量（由此可以推测出宇宙磁矢量的强度），结果虽然精度颇高（可能超过10-50克的量级）不是很确定。
用于限定光子质量的扭秤示意图。（图片来源：Tu et al. 2005）
非零质量的光子还可以影响磁流体的行为，比如阿尔芬波会因此具备一个与光子质量相关的特征临界频率，在此之下的波动会以指数形式衰减掉。考虑地球轨道上的等离子体波，最好的光子质量限制在10-49克的量级；而对蟹状星云的观测得到的结果精度更高。而行星际磁场的衰减、星际介质中的电流密度也都会因为光子质量的存在而发生改变。现在号称精度最高的质量限制就是通过磁化星际介质的稳定性得出的，达到了3×10-60克。但由于磁流体的相关分析都依赖于模型假设，如阿尔芬波的行为要假定延伸范围无限的流场，而磁化星际介质稳定性的默认前提是位力定理成立，所以在可靠性上它们都要略逊一筹。
当然，具有质量的光子还会在引力的作用下发生偏转。其实广义相对论早已给出了引力源附近光线的偏转量，不过倘或光子具有质量，偏转角相对纯粹的相对论有所修正，所以对这个角度进行精密测量也可以提出限制。用低频射电波测量出的太阳引力场偏转量对应小于10-40克的光子质量。
光子质量不为零导致的影响还包括光子的偏振（带来平行于光子传播方向的第三个分量）、与磁单极子（包括一些行为类似于磁单极子的系统）的不兼容、让黑体辐射谱发生变形、改变Aharonov & Bohm效应或Aharonov & Casher效应、贡献Casimir力等。在现有条件下，这些有的是可以供实验检验的，如通过宇宙微波背景辐射各向异性的数据可以将光子质量限制到2.9×10-51克以下；但后两种影响过于微弱，以当代技术手段是无法用来探讨光子质量的。
由于仪器误差的限制，除非在短时间内出现技术突破，未来数年内，单凭地面实验来测量光子质量可能不会有太大的飞越了。但借助天体的测量方法又往往要取决于太多的假设，有些结果精度喜人，却饱受争议。前些年粒子数据工作组公认的光子质量上限还只是在10-49克的量级上，很多看似更好的并未被采纳，原因也正在于此。不过无论如何，用尽可能多的方法进行充分检验是限制光子质量所必需的。
参考资料
[1] Classical Electrodynamics by J.D. Jackson
[2] 关于光子质量的综述：L.-C. Tu, J. Luo & G. T. Gillies, 2005, Rep. Prog. Phys., 68, 77
[3] 关于利用天体爆发限定光子质量：B. E. Schaefer, 1999, PRL, 82, 4964
