斐波那契数列趣谈
一般认为斐波那契数列的提出是基于兔子的繁殖问题：如果一开始有一对兔子，它们每月生育一对兔子，小兔在出生后一个月又开始生育且繁殖情况与最初的那对兔子一样，那么一年后有多少对兔子？
答案是，每月兔子的总数可以用以下数列表示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…。这一数列是意大利数论家列奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他13世纪初的著作Liber Abaci中最早提出的。如果取数列前两个元素为1，那么递推关系就是：
当然，曾经有一度数学家们将0作为斐波那契数列的首项（或第0项）。
这一数列看起来相当简单，但却隐藏着一些有趣的东西。
关于数列元素
关于斐波那契数列的元素，人们发现了不少有意思的事情。
质数与合数：斐波那契数列的质数元素也是该数列的质数项，唯一的例外是第4项元素3。但这个规律反过来不成立，数列的质数项元素的也可能是合数。这一“规律”可以为人们提供搜索大质数的线索。但在相当大的元素以后是不是仍有这个规律呢？目前没有人知道。
如果把用二进制表示的斐波那契数列前511个元素绘制出来，是这个样子的（Pegg 2003，摘自Wolfram Research）：
是不是有点分形的味道？
第10n项：分别是2，21，209，2090，20899，208988，2089877，20898764…。（Sloane’s A068070）也就是说，这一数字不断接近208987640249978733769…的前几项。而208987640249978733769…和这样一个数有关：
Binet公式：这个公式不是轨道力学里的那个常用的同名公式，而是给出斐波那契数列第n项的另一个公式，是Jacques Philippe Marie Binet在1843年发现的：
看到了什么？是不是括号中的两个数似乎和黄金分割有关？
斐波那契数列与黄金分割
苏格兰人Robert Simson证明了，当项数趋于无穷时，斐波那契数列的后项与前项之比趋近黄金分割，也就是1.61803398875…。这也许说明了斐波那契数列与黄金分割有天然的联系。
如斐波那契螺旋就是最直接的例子。如果顺逆时针螺旋的数目是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。这样的螺旋能最佳利用圆周，疏密最为均匀。它的构造方法也不难，只需先用同样是与斐波那契数列有关的数构造黄金矩型（长宽之比为黄金分割），再在每个矩形中各描绘出一条1/4圆弧，让各段弧彼此连接。这样的黄金矩形也往往能一些艺术名作中找到，如达·芬奇著名的作品《蒙娜·丽莎》。
计算机绘制的斐波那契螺旋。
斐波那契螺旋与黄金矩型。
自然界中的斐波那契数列
最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。
每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。
曾在网上看到下面这样一组图，说的是花瓣数符合斐波那契数列各元素的各种植物，也许仅仅是巧合？
另外，晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。
BTW，数学软件Mathematica就自带有名为Fibonacci的工具包，不妨玩一玩。
