从物理常数到星系宇宙
前一阵提到过，Thanu Padmanabhan的《理论天体物理》是以量纲和量级分析开场的。这回自己也不妨学着他的思路重新玩一回数字游戏，依靠几个基本常数从最小尺度折腾到最大，也算是复习一遍“恒星结构与演化”课程的导言内容了。正好刚把mimetex配置好，公式输入问题也不用发愁了。只是依本人的文笔，实在是很难写那种酣畅的感觉来，大家将就着看吧……
以下推导只是个大概线索，没有把所有步骤列出，所以初看也许会有些头晕，有兴趣的可以自己补充。过程中只考虑量级，只要量级说得过去就一切OK。不要问我为什么和实际情况还有几倍差异，因为一切过程从简，很多细节根本没有考虑。
首先是几个基本常数，依天文界的习惯取为cgs制：
万有引力常数：
普朗克常数：
真空光速：
由此通过量纲分析，可得普朗克质量，普朗克长度
，以及普朗克时间
。代入黑洞视界即史瓦西半径的表达式可知，普朗克质量的黑洞视界大小即为普朗克长度。同时，普朗克质量的物体的康普顿波长（也就是某物体德布罗意波长的下限）即等于普朗克长度。由此可以认为此时经典时空结构被破坏，量子引力发挥作用。这时的距离尺度是10-33厘米。
再进一步，进入基本粒子范畴。出发点是电子质量（0.511 MeV）和质子质量（938.27 MeV）。对于尺度，可以按如下思路求出：令电子的静能等于电势能。由此有：
由上式求出的即是电子经典半径，约合
厘米。至于质子半径，通常采取其康普顿波长，约合
厘米，这也是强相互作用力的作用范围。若认为强力的传递粒子以光速运动，可以进一步求出强力时标。
在原子和分子的领域，尺度约为1埃，即10-8厘米。定义精细结构常数为：
这样玻尔半径可以表示为，基态能量（Rydberg能量）为
，合13.6 eV。至于氢原子其他能级，可以通过求解薛定谔方程得出。
分子的情况比较复杂，除了量级与Rydberg能量相近的结合能外，尚有振动和转动能级。求解振动能级的过程中，所作的假设是动能近似等于Rydberg能量，而能级的能量相当于振动频率与普朗克常数之积。由此计算得出的振动能量是。
转动能量的求解则是认为角动量近似等于普朗克常数，得到的结果是。由于电子质量远小于质子，转动能量也就低于振动能量。如果已知分子种类，就可以推算出具体数值，并求出该分子的转动或振动对应的电磁波波长，这是谱线观测的基础。
分子能级也可以用于分析大气窗。譬如红外波段被大气大范围阻隔的原因就是其对应能量与大气分子的振动能级接近。
分子之上应该考虑的是细胞、生物体，这并非天文学的考虑范畴，故将其跳过。接下来的研究对象是小天体。这里对小天体的定义是，引力对外观的影响可以不予考虑，因此天体外观呈不规则状。
先定义引力精细结构常数：
基本假设：宏观物体的原子间距d约合玻尔半径。如物体内有N个质子且分布均匀，则总质量，尺度
。
既然小天体外观不规则，设其表面最大起伏可以与天体半径相比拟。换句话说，一旦引力主导的大天体最大起伏超过半径，起伏的底部在引力的作用下会熔融，进而被抹平，造就了近圆的外观。定义物质的熔点为：
这里的是比值，一般取为1/170。再定义y为原子的真实间隔与玻尔半径之比，A为物体组分的原子序数。这里个人有一点没有搞清，望指教。恒星结构与演化课上的推导是，设高为h的起伏底部不会因引力的作用而熔融，应满足
，g是所在天体的重力加速度。问题在于
的定义，似乎是单分子的液化能量？
将y、A以及两个精细结构常数表示出天体的质量与半径代入上式，可解出h的最大值约为1000千米。
这就是小行星的尺度上限。与实际情况相比，小行星带中最大的谷神星外观近圆（因而被IAU归入矮行星之列），直径是930千米左右。与上述结论在数量级上还是一致的。
至于大行星，在满足引力主导的前提下，还要满足一个条件：内部原子的排列不会因引力作用而被破坏。这可以近似为原子间距仍保持玻尔半径的量级。求其极限值，只须令引力能与简并能近似相等即可，得出的结果是在木星质量上下。当然，这是针对类地行星而言的，对于气体行星另当别论。
接下来是恒星级现象。恒星的一个定义是拥有中心能源的自引力天体，这样质量上下限的求解就相对容易了。下限就是中心温度不足以点燃核聚变反应，而上限则是与位力定理的稳定条件有关。根据位力定理，自引力系统如保持稳定，绝热指数应不小于4/3。对于理想气体，绝热指数是5/3，这一条件自然满足。但倘或绝热指数为4/3的光子气体成了主导，不稳定产生了。如此推出的恒星质量上限约是110倍太阳质量，但由于过程中需要做一些假定，多少有些牵强。倘或改用爱丁顿极限的方法，采用质量-半径关系的观测事实，质量上限是60余倍太阳质量。当然，银心等相对极端的区域也发现过超过这一上限的恒星。但毕竟上述关系是有一定的假设的，也忽略了一些情况，几倍的差异在估算中就先忽略了。
质量下限的推导相对可靠一些。由于引力能等于粒子热运动动能（即）与Fermi能之和，可以求出温度取极大值时的粒子密度，由此求出用粒子数和其他常数表示的温度值，即
。根据量子隧穿效应，如果要发生聚变反应，两粒子的德布罗意波应有所重叠，也就是粒子间距不应大于德布罗意波波长。由此求出的点火温度在1 keV左右，解出的临界粒子数是1056。
这一数目的质子总质量是太阳质量的十分之一，与实际测得的恒星质量下限十分接近。在此质量之下的天体是褐矮星，与恒星一样是由气体云收缩产生，但核心温度不足以点燃氢聚变，所谓“failed star”是也。
更上一层的星系尺度，也是自引力系统，主要考虑的是冷却时标和自由下落时标的关系。当气体呈离子态，热轫致辐射主导冷却，时标是：
这里的T是位力温度，即。而引力作用下的自由下落时标是
。若冷却作用占主导，星系会因无法由位力过程获得平衡而产生坍缩，关于星系形成的“自上而下”模型就是如此图景。至于星系之上的星系团，这是最大的自引力系统，超星系团却并非自引力。
最后是宇宙尺度，不考虑广义相对论，宇宙学原理要求，再定义哈勃常数为
，其中的a是加速度，由此可求出宇宙的能量是：
虽然过程并不准确，但这与Friedmann方程只相差一个曲率项而已。利用上式亦可求出宇宙的临界密度，结合观测数据，可近似算出可观测宇宙的年龄和尺度，进而算出宇宙的质量和核子数（约1079个）。
但可观测宇宙的半径与同等质量黑洞相同。Why? I can’t find an answer…
